Die Gleichungen

Sei der Expositionsfaktor (proportionaler Anteil der Kinder, die durch die Krankheit Antikörper zur Krankheit haben), der proportionale Anteil der Kinder, die erfolgreich gegen die Krankheit geimpft wurden und der proportionale Anteil der Kinder mit Antikörper zur Krankheit , die geimpft worden sind.

Sei $p(\pm, \pm,\pm)$ mit (bzw. ) an der -ten Stelle der proportinalen Anteil der Kinder, die Antikörper (bzw. keine Antikörper) zur -ten Krankheit haben. Die acht Werte $p(+,+.+), p(+,+,-), \dots, p(-,-,-)$ sind durch die Labors bekannt. Man hat die folgende Gleichungen:

$\begin{displaymath} \begin{array}{lclcl} p_7 = p(+,+,+) &=& \nu q_1q_2q_3 & + &... ...)(1-q_2)(1-q_3) & + & (1-\nu)(1-e_1)(1-e_2)(1-e_3). \end{array}\end{displaymath}$

Nach der (technischen) Substitution $p_i = \frac{a_i}{n}$ wurden mit Hilfe von SINGULAR die Variablen

eliminiert. Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung der Form

$\begin{displaymath} c_1(a_0, \dots, a_7) v^2 -c_1(a_0, \dots, a_7) v + c_0(a_0, \dots, a_7) = 0. \end{displaymath}$

Mit Hilfe der Faktorisierung von SINGULAR erhält man

und

Daraus gewinnt man die Formeln $v_{1,2} = \frac{1}{2} \left(1 \pm \frac{f_3}{f_1\sqrt{f_4}}\right)$ mit

$\begin{eqnarray*} f_1 := & n = \bigl((a_0 + a_3 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_4 + a_... ..._5a_2+a_0a_7a_6a_1+a_3a_4a_5a_2+a_3a_4a_6a_1+a_5a_2a_6a_1\bigr). \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise wurden erstmals geschlossene Formeln für die gesuchten Gr&ooml;ssen gefunden.

Die Rechnung in SINGULAR:

Karlsruhe

http://www.singular.uni-kl.de/